[1.]Nechť A = (a1| . . . |an) je regulární reálná matice řádu n. Dokažte, že absolutní hodnota determinantu matice A je menší nebo rovná součinu no- rem vektorů a1, . . . , an (normy bereme vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu). Pro n = 3 interpretujte tuto nerovnost geometricky.
Nápověda: Použijte QR-rozklad. Ukažte, že ortogonální matice má deter- minant ±1 a že prvky na diagonále matice R lze odhadnout velikostmi vektorů a1, ..., an.
Bonusový problém: Ukažte, že každé zobrazení f : Rn → Rn, které zacho- vává skalární součin, je lineární.
[2.] Uvažujme dvě báze C1 = (u1, u2, u3) a C2 = (v1, v2, v3) vektoro- vého prostoru R3 a označme Bj Gramovu matici Cj vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu (pro j = 1, 2).
• Ukažte, že pokud existuje ortogonální matice Q řádu 3 taková, že Qui = vi pro každé i ∈ {1, 2, 3}, pak B1 = B2 (tj. báze C1 a C2 mají stejné Gramovy matice).
• Ukažte naopak, že pokud B1 = B2, pak existuje ortogonální matice Q řádu 3 taková, že Qui = vi pro každé i ∈ {1,2,3}
Are you looking for matematika tutoring? Find the right matematika tutor for online or in-person tutoring near you.
We access the information stored on your device for this website to function properly. This includes, for example, cookies or local browser cache. We use this to store the data necessary for the functioning of the website, data used for analytical purposes, or data stored by third parties.
If this information is essential for the operation of this website, we store it automatically. For everything else, we need your consent, which you can choose to give below. Your consent is valid for 12 months. Should you refuse, we will ask you for consent again in 6 months, but you are free to change your mind at any time. For more information, please see our GDPR and Terms of Use.