[1.]Nechť A = (a1| . . . |an) je regulární reálná matice řádu n. Dokažte, že absolutní hodnota determinantu matice A je menší nebo rovná součinu no- rem vektorů a1, . . . , an (normy bereme vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu). Pro n = 3 interpretujte tuto nerovnost geometricky.
Nápověda: Použijte QR-rozklad. Ukažte, že ortogonální matice má deter- minant ±1 a že prvky na diagonále matice R lze odhadnout velikostmi vektorů a1, ..., an.
Bonusový problém: Ukažte, že každé zobrazení f : Rn → Rn, které zacho- vává skalární součin, je lineární.
[2.] Uvažujme dvě báze C1 = (u1, u2, u3) a C2 = (v1, v2, v3) vektoro- vého prostoru R3 a označme Bj Gramovu matici Cj vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu (pro j = 1, 2).
• Ukažte, že pokud existuje ortogonální matice Q řádu 3 taková, že Qui = vi pro každé i ∈ {1, 2, 3}, pak B1 = B2 (tj. báze C1 a C2 mají stejné Gramovy matice).
• Ukažte naopak, že pokud B1 = B2, pak existuje ortogonální matice Q řádu 3 taková, že Qui = vi pro každé i ∈ {1,2,3}
Hledáš doučování předmětu matematika? Najdi si správného doučovatele předmětu matematika pro doučování online nebo osobně ve tvém okolí.
Pro správné fungování stránky máme přístup k informacím uloženým ve tvém zařízení. Jedná se například o cookies nebo lokální paměť prohlížeče. Ukládáme tam data potřebná pro fungování stránky, údaje využívané pro analytické účely nebo údaje ukládané třetími stranami.
Pokud jsou tyto informace nezbytné pro chod stránky, ukládáme je hned automaticky. Na všechny ostatní potřebujeme souhlas, který můžeš udělit níže. Tvůj souhlas si uchováme 12 měsíců, při odmítnutí se tě na souhlas opět zeptáme po 6 měsících, své rozhodnutí však můžeš změnit kdykoliv. Bližší informace najdeš na stránce ochrany osobních údajů a ve všeobecných podmínkách používání.