Řešení soustavy rovnic
3x - y = 5
2y + 3x = 6
Malou poznámku na začátek
(mate tě pořadí x a y, že není stejné v první a druhé rovnici):
Pořadí s č í t a n c ů nerozhoduje, změna pořadí sčítanců součet nezmění.
Je jasné, že 3 + 4 = 4 +3, že ano?
to se dá využít při komplikovaném sčítání, např:
11 +38 + 989 = 11 + 989 +38 (záměna pořadí součet nezmění, 11+989 = 1 000)
čili to je: 1 000 + 38 = 1 038
... a teď k té soustavě rovnic.
Jde o takzvanou soustavu dvou rovnic o dvou neznámých.
Těmto rovnicím se říká lineární, protože proměnné vystupují v první mocnině
tzn.: x = x^1 (x na prvou) a to samé platí pro y.
Takže terminologii máme za sebou :-)
A teď k řešení zadané soustavy lineárních rovnic.
Existuje několik chytrých způsobů, pro ty jednodušší soustavy je nejlépe použít "selský" rozum a vyřešit je co nejjednodušším způsobem. Na to nejsou potřeba skoro žádné znalosti, stačí znát matematiku asi tak 7. třídy ZŠ.
Takže otázka zní:
Jaké musí být x a y, aby zároveň platilo:
3x - y = 5
a
2y + 3x = 6
Asi vidíš, že z první rovnice plyne:
y = 3x - 5
a tak ve druhé rovnici zapíšeme místo y výraz (3x - 5)
Proč? Protože jsou si rovny, tak jde o to samé, jenom jinak zapsané
Takže přepíšeme druhou rovnici:
2 * (3x-5) + 3x = 6
no a máme skoro hotovo:
2*3x - 2*5 + 3x = 6
6x - 10 + 3x = 6
9x - 10 = 6
9x =16
x = 16/9 = 1 7/9 = mnoho dalších způsobů, jak zapsat totéž
já doporučuji
x = 16/9
Do kterékoli z obou rovnic v zadání teď dosadíme
x = 16/9,
každý si může vybrat podle sebe, kterou rovnici použije ...
Je to jedno
Dosadíme do první rovnice:
3 * 16/9 - y = 5
čili po úpravě zlomku (krácení 3 proti 9) dostaneme
16/3 - y = 5
odtud
y = 16/3 - 5 = 16/3 - 15/3 = (16-15)/3
y = 1/3
Čili vyšlo:
x = 16/9 , y = 1/3
Důležité je udělat zkoušku, která ukáže, že jsme se nespletli.
Zkouška se dělá jednoduše tak, že výsledné hodnoty zapíšeme do rovnic místo jejich proměnných. Tedy místo x píšeme 16/9 a místo y napíšeme 1/3.
První rovnice, levá strana:
..... = 3 * 16/9 - 1/3 = 16/3 - 1/3 = (16-1)/3 = 15/3 = 5
První rovnice, pravá strana:
..... = 5
Tak to sedí, že ?
A pro druhou rovnici:
Levá strana je
..... = 2 * 1/3 + 3*16/9 = 2/3 +16/3 = (2 + 16)/3 = 18/3 = 6
Pravá str. druhé rovnice je
..... = 6
To taky sedí.
A teď si můžeme být jisti, že řešení dané soustavy dvou lineárních rovnic o dvou neznámých x a y je
x=16/9
y=1/3
Bylo to zbytečně podrobné?
Jestli ano, pak nebudeš mít žádný problém, rozumíš tomu dobře.
Jestli ne, a něco nebylo jasné, dá se tomu během pár minut odpomoct, a jsi zase bez problému :-)
T a k ž e ž á d n ý p r o b l é m s m a t i k o u :-)
Komentáře:
Stanislav B.
Bohužel v zápisu nejsou zachovány mezery, takže výraz v textu 1 7/9 znamená smíšený zlomek 1 a 7/9, ne zlomek 17/9.
Když jsem to psal, neuvědomil jsem si, že iditor s textem takhle zapracuje, Omlouvám se :-)