[1.]Nechť A = (a1| . . . |an) je regulární reálná matice řádu n. Dokažte, že absolutní hodnota determinantu matice A je menší nebo rovná součinu no- rem vektorů a1, . . . , an (normy bereme vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu). Pro n = 3 interpretujte tuto nerovnost geometricky.
Nápověda: Použijte QR-rozklad. Ukažte, že ortogonální matice má deter- minant ±1 a že prvky na diagonále matice R lze odhadnout velikostmi vektorů a1, ..., an.
Bonusový problém: Ukažte, že každé zobrazení f : Rn → Rn, které zacho- vává skalární součin, je lineární.
[2.] Uvažujme dvě báze C1 = (u1, u2, u3) a C2 = (v1, v2, v3) vektoro- vého prostoru R3 a označme Bj Gramovu matici Cj vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu (pro j = 1, 2).
• Ukažte, že pokud existuje ortogonální matice Q řádu 3 taková, že Qui = vi pro každé i ∈ {1, 2, 3}, pak B1 = B2 (tj. báze C1 a C2 mají stejné Gramovy matice).
• Ukažte naopak, že pokud B1 = B2, pak existuje ortogonální matice Q řádu 3 taková, že Qui = vi pro každé i ∈ {1,2,3}
Шукаєш репетитора з предмету matematika? Знайди потрібного репетитора з предмету matematika онлайн або поблизу себе.
Ми отримуємо доступ до інформації, що зберігається на вашому пристрої, щоб забезпечити належну роботу цього веб-сайту. Це, наприклад, файли cookie або локальний кеш браузера. Ми використовуємо її для зберігання даних, необхідних для функціонування веб-сайту, даних, що використовуються в аналітичних цілях, або даних, що зберігаються третіми сторонами.
Якщо ця інформація необхідна для роботи цього веб-сайту, ми зберігаємо її автоматично. Для всього іншого нам потрібна ваша згода, яку ви можете надати нижче. Ваша згода дійсна протягом 12 місяців. Якщо ви відмовитеся, ми знову попросимо вас дати згоду через 6 місяців, але ви можете змінити свою думку в будь-який час. Для отримання додаткової інформації, будь ласка, ознайомтеся з нашим регламентом GDPR та Умовами Використання.