600m
1. závodník: 20km/h
2. závodník: 25km/h
----------------
10 kol
----------------
celkem: 600*10 = 6000 = 6km
----------------
1. závodník
6/20h = 3/10 h = 18 minut
----------------
2. závodník
----------------
6/25h = 14,4 minut + 4 = 18,4 minut -> Vyhraje první závodník

Druhá část otázky:
x -> počet kol
(6/10)x = (3/5)x (celková délka okruhu)

1. závodník: (3x/ 5*20) *60 = (9/5)x
2. závodník: (3x/5*25)*60 + 4 = (26/25)x +4

(9/5)x >= (26/25)x + 4 /*25 (chci, aby to prvnímu trvalo déle než druhému)
45x >= 26x +100
19x <= 100
----------------
x <= 100/19 = 5,26 -> 5 kol

Viz níže :

Zadání:

1. závodník
T10... Start v čase ... 0 min
S1... celková dráha ... 10 kol po 600 m = 6 km
V1... rychlost ... 20 km/h
--------------------------
T1c ... celkový čas prvního závodníka na ujetí závodní trasy
T1c = T10 + S1/v1 = (pozor na jednotky)
0 min + 6km / (20 km/h) =
0 min + (6/20) h =
0 + (18/60) h =
18 minut
První závodník ujede závodní trasu v celkovém čase 18 min.

----------------------------------------------------------
2. závodník
T20... Start v čase ... 4 min po startu 1.závodníka
S2... celková dráha ... 10 kol po 600 m = 6 km
V2... rychlost ... 25 km/h
--------------------------
T2c ... celkový čas druhého závodníka na ujetí závodní trasy
(uvažujeme, že čas se počítá od startu 1.závodníka)
T2c = T20 + S2/v2 = (pozor na jednotky)
4 min + 6km / (25 km/h) =
4 min + (1,2*12 / 5*12) h =
4 min + (14,4/60) h = platí 1/60 h = 1 min
4 min + 14,4 min =
18,4 min =
18 min 24 sec

Druhý závodník ujede závodní trasu v celkovém čase 18 min 24 sec,
prohraje tedy o 24 sec.

--------------------------------------------------------
2. část úlohy
Kolik kol je třeba, aby vyhrál druhý závodník?

Spočítáme, jakou dráhu S ujede druhý závodník, když bude předjíždět prvního
(první závodník ujede samozřejmě stejnou dráhu, když se budou míjet :-) )

Oba závodníci se budou míjet ve stejném celkovém čase, čili
Celkový čas 1.závodníka (kdy ho bude předjíždět druhý závodník)
T1c = 0 min + S/V1

Celkový čas 2.závodníka (kdy bude předjíždět prvního)
T2c = 4 min + S/V2 (pozor na jednotky)
T2c = 4 / 60 hod + S/V2

a můžeme zapsat podmínku, že se závodníci budou
míjet ve stejném celkovém čase:
T1c = T2c,
čili
0 + S / V1 = 4/60 + S/V2
upravíme:
S/V1 - S/V2 = 4/ 60
S* (1/V1 - 1/V2) = 4/60
tj.:
S * (V2-V1) / (V1*V2) = 4 / 60
a odtud:
S = (4/60) * V1 * V2 / (V2-V1)
a je to :-)

po dosazení:
S = (4/60) * 20 * 25 / (25-20)
Existuje mnoho způsobů, jak tento výraz
vypočítat elegantně nebo pracně, ale vždy
vyjde:
S = 20/3 km = 18/3 + 2/3 km =
6km +666,66666 m
a to je
6 km + 600 m + 66,6666 m
a tedy
10 kol + 1 kolo + 66,66666 m

Závod by dopadl nerozhodně, kdyby závodníci měli ujet trať
11 kol a 66,666666 m.
Při jakékoli delší trase vyhraje druhý závodník.